Inner Product Space

释义 Definition

内积空间：一种向量空间，配备了一个叫做内积（inner product）的运算，用来衡量向量的长度（范数）、夹角（正交性）等几何性质。常见的内积空间包括欧几里得空间 (\mathbb{R}^n) 和复向量空间 (\mathbb{C}^n)；在满足完备性时可进一步形成希尔伯特空间（Hilbert space）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɪnər ˈprɑːdʌkt speɪs/

例句 Examples

An inner product space lets us define angles between vectors.
内积空间使我们能够定义向量之间的夹角。

In an inner product space, orthogonality and projection generalize geometric ideas to abstract vector spaces.
在内积空间中，正交与投影把几何概念推广到抽象向量空间里。

词源 Etymology

“inner product（内积）”中的 product 表示“乘积/运算”，这里指一种把两个向量映射为一个标量的运算；inner 强调它是空间内部定义的结构（区别于外积/外部构造）。 “space（空间）”在数学语境里指“满足一定运算规则的集合”，源自拉丁语 spatium（空间、距离）。整体术语在近现代线性代数与泛函分析发展中被系统化，用于统一描述长度、角度与正交等概念。

相关词 Related Words

• Vector Space
• Inner Product
• Dot Product
• Norm
• Orthogonal
• Orthonormal
• Projection
• Hilbert Space
• Linear Algebra

文学与著作 Literary Works

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right（多处以“inner product space”讨论正交、谱理论等）
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（以内积空间解释正交分解与最小二乘）
• Walter Rudin, Functional Analysis（以内积空间/希尔伯特空间为核心对象）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis（系统使用“inner product space”与相关结构）